PIRÂMIDE...
... É um poliedro em que uma das faces é um polígono qualquer, a que se chama base; as outras faces são triângulos que têm um vértice comum, chamado vértice da pirâmide.

Uma pirâmide diz-se reta, se o projeção do vértice da pirâmide coincide com o centro da base. Uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular diz-se uma pirâmide regular. Nas pirâmides regulares, as faces laterais são triângulos isósceles. Quando a projecção do vértice não coincide com o centro do polígono da base, diz-se que a pirâmide é oblíqua.

Altura de uma pirâmide é a distância do vértice da pirâmide ao plano da base. À altura de cada uma das faces laterais chama-se apótema da pirâmide. É evidente que, sendo a base um polígono regular, este também tem um apótema, a que se chama apótema da base.

Numa pirâmide podemos encontrar os seguintes elementos:

base (polígono);
faces (triângulos);
arestas da base (lados da base);
arestas laterais (lados das faces que não pertencem à base);
vértices da base (vértices do polígono da base);
vértice da pirâmide (ponto de encontro das arestas laterais).

Tal como acontece com os prismas, também as pirâmides se classificam de acordo com o polígono da base.

Assim, teremos:

pirâmide triangular (três faces; base é um triângulo);
pirâmide quadrangular (quatro faces);
pirâmide pentagonal (cinco faces);
pirâmide hexagonal (seis faces);
etc.

Quando a pirâmide é formada por quatro triângulos equiláteros geometricamente iguais, tem o nome especial de tetraedro, que é um poliedro regular porque as suas faces são polígonos regulares sobreponíveis e é idêntico em todas as faces, isto é, neste poliedro não há vértices nem bases especiais. Em geral, uma pirâmide regular não é um poliedro regular.

Para que os alunos compreendam o processo pelo qual se determina a área da superfície de uma pirâmide regular, sugerimos a construção de uma pirâmide quadrangular em cartolina, cuja base tenha 49 cm2 de área e cujo apótema tenha 10 cm.

Atendendo à planificação, os alunos poderão ver facilmente que a área não é mais do que a soma da área lateral, Al (sombreada a vermelho), com a área da base, Ab (sombreada a cinzento):

A área lateral é a soma das áreas das faces (triângulos isósceles). Sendo p o perímetro da base, Al = (p × a) ÷ 2 . A área total será, então, dada pela seguinte fórmula:

At = (p × a) ÷ 2 + Ab .

Para entender a fórmula que permite calcular o volume de uma pirâmide, podemos pensar num caso muito evidente: uma pirâmide quadrangular regular cuja base seja uma face de um cubo (de aresta a) e cujo vértice seja o centro desse cubo.

Vê-se claramente que no cubo cabem seis pirâmides iguais àquela - tantas quantas as faces do cubo. O volume de cada uma é, então, a sexta parte do volume do cubo, ou seja, V = a3 ÷ 6. Como a altura, h, de cada pirâmide é metade da aresta do cubo, ou seja, a aresta do cubo vale 2h, temos então que o volume da pirâmide pode ser escrito da seguinte forma: V = (Ab × 2h) ÷ 6 = (Ab × h) ÷ 3 , e portanto, o volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela sua altura.

O Princípio de Cavalieri autoriza-nos a afirmar que esta conclusão é válida para qualquer pirâmide.

Planificações:

Poliedros


Poliedros são sólidos limitados por polígonos.
Os polígonos são as faces do poliedro (são as figuras planas que o limitam), os lados dos polígonos são as arestas do poliedro (são os segmentos de recta que limitam as faces), e os vértices dos polígonos são os vértices do poliedro (são os pontos de encontro das arestas).
Os vértices, as arestas e as faces de um poliedro dizem-se os elementos do poliedro.



















Os poliedros podem ser Convexos ou Côncavos. Os poliedros são convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao plano de qualquer uma das suas faces, ou seja, quando as suas faces deixam sempre as demais no mesmo semiespaço. Caso contrário, os poliedros dizem-se côncavos.





Exemplo de um poliedro côncavo:















Uma relação válida para todos os poliedros que iremos referir neste trabalho, é a Relação de Euler, descoberta pelo matemático suíço Euler:



n.º faces + n.º vértices = n.º arestas + 2



Em alguns poliedros, todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de arestas. A estes poliedros chamamos Poliedros Regulares. Estes são também conhecidos por Sólidos Platónicos.






















Observando o sólido que se encontra representado na figura anterior analisemos as suas regularidades (propriedades que se mantêm constantes entre os seus elementos) e irregularidades.




As regularidades que se encontram são as de que todas as faces e todas as arestas são congruentes (geometricamente iguais).


Nas irregularidades temos que o número de faces ou de arestas concorrentes em cada vértice não é sempre igual, existem vértices onde concorrem quatro arestas e outros onde concorrem apenas três.




Os sólidos representados na figura seguinte são poliedros regulares, pois não apresentam irregularidades:
















Chamam-se vértices equivalentes ou idênticos aqueles onde concorre o mesmo número de faces ou arestas.






Os prismas e as pirâmides são os poliedros mais fáceis de visualizar e de planificar. No entanto, existem muitos mais poliedros, sendo enorme a variedade das suas formas e muitos deles são de grande beleza.



A melhor forma de compreender os poliedros é construí-los, e seguidamente observá-los, compará-los e modificá-los. Um poliedro, quando é observado, é visto como porção de espaço limitada por polígonos, daí que seja natural proceder à sua construção utilizando polígonos em papel ou cartolina, unindo os seus lados com fita-cola e formando assim as arestas.




O recurso a modelos geométricos no ensino da Geometria é universalmente reconhecido. É importante conhecer e utilizar alguns materiais produzidos pela própria indústria com este objectivo, mas também convém valorizar o papel formativo da própria construção de alguns modelos pelos alunos. Convém ainda ter em conta os recursos financeiros das escolas, e por isso é preferível adquirir poucos, mas bons materiais, e construir os outros com os alunos, na sala de aula.


Seguidamente, apresentamos algumas sugestões neste sentido:


Cartolina, acetato ou folha de plástico rígido


A partir das planificações de sólidos, é possível a sua construção através de cartolina, acetato ou folha de plástico rígido, que são bons materiais para este efeito.


Os modelos geométricos assim construídos ficam com as faces representadas, e caso o material usado seja transparente, podem-se unir pontos das faces com linhas ou varetas e obter outros poliedros com eles relacionados, diagonais, referenciais, etc.


Através destes materiais podem-se construir também polígonos regulares e não regulares de vários tipos, com abas que servem para os unir com elásticos. Estes polígonos são óptimos para fazer experiências de construção de poliedros, nomeadamente dos poliedros platónicos, arquimedianos, estrelados, etc.

No mercado especializado encontram-se à venda polígonos de um material plástico com encaixes para construção de poliedros. Este material é de origem inglesa e chama-se Polydron. O Polydron é um material potencialmente motivador, que permite a manipulação individual e que é matematicamente apropriado para representar certos conceitos, tornando-se aconselhável a sua utilização na sala de aula, através de actividades que permitam trabalhar, de diferentes formas, o conceito em estudo.

Armações e Palhinhas

É possível visualizar um poliedro a partir da "armação" constituída pelas suas arestas. No mercado já existem materiais para este tipo de construção através de pequenas varas e mecanismos de encaixe, como por exemplo Poliedros:

Com as palhinhas habituais que se usam para bebidas e que todos conhecemos, podem-se construir óptimos modelos de "esqueletos" de sólidos. Basta que para tal, se passe uma linha por dentro das palhinhas as vezes que forem necessárias.

Convém ter em atenção que nos vértices as linhas devem ter sempre um nó para os fixar.

Estes modelos apresentam as seguintes vantagens:

- Boa visibilidade da parte interior dos sólidos e das posições relativas de arestas e diagonais (as diagonais espaciais podem ser feitas também com palhinhas);

- Facilidade de representar um referencial fazendo passar varetas nas palhinhas ou entre elas.

Poliedros transparentes

Os modelos mais adequados para estudar cortes em sólidos são os poliedros de acrílico transparente com uma abertura através da qual se poderá introduzir um líquido colorido lá dentro. Desta forma, a superfície plana do líquido simula o plano de corte e fazendo variar a posição do poliedro observam-se as várias possibilidades de cortes.

Prismas

Um paliteiro e uma barra de sabão são exemplos de objetos de uso comum de forma prismática:

Um prisma é um sólido geométrico limitado por duas bases (polígonos iguais) situadas em planos paralelos e várias faces laterais (paralelogramos).
Num prisma, o número de faces laterais é igual ao número de lados dos polígonos da base, isto é, é igual ao número de arestas da base.
A designação do polígono da base vai dar o nome ao prisma. Assim:
se as bases são triângulos, o prisma chama-se triangular;
se forem quadrados, o prisma chama-se quadrangular;
se forem pentágonos, o prisma chama-se pentagonal;
e assim por diante.









Prisma reto é um prisma que tem as arestas laterais perpendiculares às bases.
Prisma oblíquo é um prisma em que as arestas laterais não são perpendiculares às bases.
Prisma regular é um prisma recto em que as bases são dois polígonos regulares.

Se todas as faces são quadrados, o prisma é um cubo.
Se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo. Em qualquer paralelepípedo as faces são paralelas duas a duas.

Num prisma temos os seguintes elementos:
bases (polígonos);
faces (paralelogramos);
arestas das bases (lados das bases);
arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases);
vértices (pontos de encontro das arestas);
altura (distância entre os planos das bases).


















Para aprender a determinar a área da superfície de um prisma recto, podemos utilizar como exemplo um prisma triangular cuja planificação se apresenta a seguir:

A superfície lateral do prisma encontra-se sombreada a vermelho, e a sua área, a que se chama área lateral do prisma e se representa por Al, é dada por Al = (a + b + c). h , sendo h a altura do prisma, ou seja, a distância entre as bases. Sombreada a cinzento está a superfície correspondente às duas bases. Representando a área de cada base por Ab, teremos então que a área total do prisma será


At = Al + 2Ab .




Quanto ao cálculo do volume do prisma (recto ou oblíquo), este é igual ao volume do paralelepípedo (justificação pelo Princípio de Cavalieri). Consideremos um paralelepípedo e um prisma com a mesma altura, e em que a base do paralelepípedo tem a mesma área que a base do prisma.


















As secções feitas nestes dois sólidos por um plano paralelo às bases são polígonos com a mesma área, e portanto, pelo princípio de Cavalieri, estes dois sólidos têm o mesmo volume. Sendo assim, o volume do prisma é dado pela expressão V = Ab × h .




Planificação:



























Conteúdo retirado do site www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm21/prismas.htm

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Sejam bem vindos ao nosso blog, esperamos ao decorrer deste ano desenvolvermos juntos um ótimo trabalho, aprendendo sobre a misteriosa e até divertida "Matemática". Esperamos que gostem e aprendam como nós a admira - la!!!
bjxxx Priscila & Mayra!!